A axiomatização da arimética: e a contribuição Hermann Günther Grassmann

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Dissertação de Maria do Carmo Pereira Servidoni

RESUMO: Esta pesquisa teve como objetivo o desenvolvimento epistemológico do objeto de conhecimento – número – em sua  constituição como entidade matemática. Ficou evidenciado que, no final do século XIX, a necessidade dessa constituição gerou
muitas controvérsias, porque número era concebido como presente de Deus e, conseqüentemente, considerado algo perfeito. Para o desenvolvimento dessa pesquisa, tivemos como referência os trabalhos de Grassmann, o primeiro matemático a propor, mesmo que, de forma inconsciente, a Axiomatização da Aritmética. A referência principal foi o artigo intitulado: A debate about the axiomatization of arithmetic: Otto Hölder against Robert Graβmann de Mircea Radu (2003), no qual se encontra um debate a respeito da Axiomatização da Aritmética sob dois pontos de vista; por um lado, temos Otto Hölder que acreditava na natureza sintética da Matemática, sendo assim rejeitava o método axiomático como base para a mesma; por outro lado, Robert Grassmann e Hermann Grassmann que, também, concordam com a idéia de Hölder, pois rejeitam o método axiomático. No entanto, apresentaram uma abordagem da Aritmética, aparentemente, axiomática. Na verdade, Grassmann não entendia assim seu tratamento da Aritmética, pois as leis que definiriam os números naturais pertenciam à Álgebra, outra disciplina que Grassmann considerou como geradora de todas as outras. No desenvolvimento dessa pesquisa, indicamos que as bases da axiomatização da Aritmética estavam no bojo das grandes transformações ocorridas na Matemática durante o século XIX e início do XX: o aparecimento das Geometrias não-euclidianas, a libertação da Álgebra das veias da Aritmética e o processo intrincado da Aritmetização da Análise. Nesse período, também, desenvolveu-se a discussão da pertinência ou não do uso do método axiomático, como um fundamento da Aritmética. Concluiu-se que apesar de toda a polêmica desse período, a possibilidade da axiomatização da Aritmética e a adoção do princípio axiomático nas ciências formais contribuíram para o avanço das ciências exatas.

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